MATERI SOAL LINIER

A.    PENGERTIAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
 
Seperti yang kita tahu bahwa pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan, seperti lebih dari (>), lebih dari atau sama dengan (≥), kurang dari (<), dan kurang dari atau sama dengan (≤).

Contoh :
•    x - 3y < 5
•    2x + y ≤ 4
•    x – y > -3
•    2x + 5y ≥ 10

Dari contoh diatas dapat diamati dua hal, yaitu :

•    Contoh diatas memuat salah satu lambing ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥), maka contoh diatas merupakan pertidaksamaan.

•    Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa semuanya memuat dua variabel (variabel x dan variabel y) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear), maka contoh diatas disebut linear dengan dua variabel.

Dari contoh diatas, kita dapat menyimpulkan definisi dari pertidaksamaan linear dua variabel. Maka pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan masing-masing variabel itu berderajat/berpangkat satu.

B.    PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
 
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :
ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c (x dan y ϵ R).

secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut :

• Gambarlah garis ax + by = c pada sebuah bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu Y. Garis ax + by = c ini membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian bidang.

• Ambil sebarang titik uji P(x1,y1), yang terletak diluar garis ax + by = c dan hitung nilai ax1 + by1, kemudian bandingkan nilai ax1 + by1 dengan nilai c.

1)  Jika ax1 + by1 ≤ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by ≤ c.
2)  Sebaliknya jika ax1 + by1 ≥ c, maka bagian belahan bidang yang memuat titik P(x1,y1) ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ax + by ≥ c.

• Tandailah bagian belahan bidang yang merupakan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan mengarsir daerah himpunan penyelesaian.

Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini!

1) -2x – y ≥ 2

Solusi :

• Gambarlah garis -2x – y = 2

Untuk x = 0, diperoleh y = -2, maka titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -2)

Untuk y = 0, diperoleh x = -1, maka titik potong dengan sumbu X adalah (-1, 0)

Garis -2x – y = 2 digambar pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik (0, -2) dan titik (-1, 0), lihat gambar dibawah.

• Ambil titik uji P(0,0), diperoleh hubungan :

-2 (0) – 0 = 0 < 2

Ini berarti titik P(0,0) tidak terletak pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x – y ≥ 2

Jadi, daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x – y ≥ 2 adalah bagian belahan yang tidak memuat titik P(0,0).

• Kemudian arsirlah daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan -2x – y ≥ 2, seperti pada gambar dibawah.

 
 

2) 4x – 3y < 12

Solusi :

• Gambarlah garis 4x – 3y = 12

Untuk x = 0, diperoleh y = -4, maka titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -4)

Untuk y = 0, diperoleh x = 3, maka titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0)

Garis 4x – 3y = 12 digambar pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik (0, -4) dan titik (3, 0), lihat gambar dibawah.

• Ambil titik uji P(0,0), diperoleh hubungan :

4 (0) – 3 (0) = 0 < 12

Ini berarti titik P(0,0) terletak pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4x – 3y < 12

Jadi, daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 4x – 3y < 12 adalah bagian belahan yang memuat titik P(0,0).

• Kemudian arsirlah daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 3y < 12, seperti pada gambar dibawah.

Pengertian Program Linear

      Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali masalah yang berkaitan dengan alokasi sumber-sumber yang terbatas. Misalnya : uang, tenaga, bahan produksi, waktu, tempat, dan permintaan masyarakat terhadap barang atau jasa tertentu. Sebagai seorang ahli teknik, harus memanfaatkan sumber-sumber yang tersedia itu untuk menetapkan jenis dan jumlah barang atau jasa yang harus diproduksi agar mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya.

      Program linear adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan kaidah matematika dengan menyelidiki model matematikanya (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear) yang memiliki banyak penyelesaian. Dari penyelesaian yang mungkin itu, kita pilih penyelesaian yang optimum; artina, yang memenuhi syarat sistem pertidaksamaan linear tadi.

B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan  dan mengandung variabel  berpangkat satu.

Bentuk umum pertidaksamaan linear adalah :

                  ax + by (R) c

   dengan : x dan y sebagai variabel

                  a, b, dan c konstanta

                  (R) = salah satu tanda relasi ketidaksamaan (>, <, ³, atau £)

      Langkah-langkah untuk menggambar grafik penyelesaian pertidaksamaan linear :

1.  Nyatakan pertidaksamaan linear sebagai persamaan linear dalam bentuk ax + by = c (garis pembatas).

2.  Tentukan titik potong garis ax + by = c dengan sumbu X dan sumbu Y.

3.  Tarik garis lurus yang menghubungkan kedua titik potong tersebut. Jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda ³ atau £ , garis dilukis tidak putus-putus, sedangkan jika pertidaksamaan dihubungkan dengan tanda > atau <, garis dilukis putus-putus.

4.  Tentukan sembarang titik (x₁, y₁), masukkan ke pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka daerah tersebut merupakan daerah penyelesaiannya, sebaliknya jika pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah tersebut bukan merupakan daerah penyelesaian.

5.  Arsirlah daerah yang memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir, atau arsirlah daerah yang tidak memenuhi, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang bersih (tidak diarsir).

SOAL PILIHAN GANDA DAN ESSAY

1. Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....

A. Rp 176.000,00
B. Rp 200.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 300.000,00
E. Rp 340.000,00

2. Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.


Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....
A . 88
B. 94
C. 102
D. 106
E. 196

3. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?
A. 6 jenis I
B. 12 jenis II
C. 6 jenis I dan 6 jenis II
D. 3 jenis I dan 9 jenis II
E. 9 jenis I dan 3 jenis II

4. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah…
A. Rp13.400.000,00
B. Rp12.600.000,00
C. Rp12.500.000,00
D. Rp10.400.000,00
E. Rp8.400.000,00

5. Seorang pedagang gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah…
A. Rp102.000,00
B. Rp96.000,00
C. Rp95.000,00
D. Rp92.000,00
E. Rp86.000,00

6. Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…
A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35

7. Seorang pedagang kaki lima mempunyai modal sebesar Rp1.000.000,00 untuk membeli 2 macam celana. Celana panjang seharga Rp25.000,00 per potong dan celana pendek seharga Rp20.000,00 per potong. Tas untuk menjajakan maksimal memuat 45 potong celana. Jika banyaknya celana panjang dimisalkan x dan banyaknya celana pendek adalah y, maka system pertidaksamaan yang memenuhi adalah …

a.         5x + 4y ≤ 400; x + y ≤ 400; x ≥ 0; y ≥ 0

b.        4x + 5y ≤ 400; x + y ≤ 400; x ≥ 0; y ≥ 0

c.         5x + 4y ≤ 200; x + y ≤ 45; x ≥ 0; y ≥ 0

d.        4x + 5y ≤ 200; x + y ≤ 45; x ≥ 0; y ≥ 0

e.         5x + 4y ≤ 45; x + y ≤ 200; x ≥ 0; y ≥ 0

8. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu jenis I dan II. Mobil jenis I daya muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata–rata mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya per pengiriman untuk mobil jenis I Rp400.000,00 dan mobil jenis II Rp600.000,00. Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut pendapatan rata–rata sebulan tidak kurang dari Rp200.000.000,00. model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah …

a. x + 3y ≥ 600, 2x + 3y ≥ 1000, x  ≥ 0, y ≥ 0

b. x + 3y ≥ 600, 2x + 3y ≤ 1000, x  ≥ 0, y ≥ 0

c. x + 3y ≥ 400, 2x + 3y ≥ 2000, x  ≥ 0, y ≥ 0

d. x + 3y ≥ 400, 2x + 3y ≤ 2000, x  ≥ 0, y ≥ 0

e. x + 3y ≥ 800, 2x + 3y ≥ 1000, x  ≥ 0, y ≥ 0

9. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah …

a.       x + y ≥ 20, 3x + 2y ≤ 50, x  ≥ 0, y ≥ 0

b.      x + y ≥ 20, 2x + 3y ≥ 50, x  ≥ 0, y ≥ 0

c.       x + y ≤ 20, 2x + 3y ≥ 50, x  ≥ 0, y ≥ 0

d.      x + y ≤ 20, 2x + 3y ≤ 50, x  ≥ 0, y ≥ 0

e.       x + y ≤ 20, 3x + 2y ≥ 50, x  ≥ 0, y ≥ 0

10.Rudi seorang pedagang roti keliling. Ia akan membeli roti jenis A dan jenis B. Harga sepotong roti jenis A adalah Rp3.000,00 dan harga sepotong roti B adalah Rp3.500,00. Rudi mempunyai keranjang dengan kapasitas 100 potong roti dan memiliki modal sebesar Rp300.000,00. Jika x menyatakan jumlah roti jenis A dan y menyatakan jumlah roti jenis B yang dibeli, maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah …

a.         6x + 7y ≥ 600, x + y ≥ 100, x  ≥ 0 dan y ≥ 0

b.        7x + 6y ≥ 600, x + y ≥ 100, x  ≥ 0 dan y ≥ 0

c.         9x + 7y ≤ 600, x + y ≤ 100, x  ≥ 0 dan y ≥ 0

d.        6x + 7y ≤ 600, x + y ≤ 100, x  ≥ 0 dan y ≥ 0

e.         7x + 6y ≤ 600, x + y ≤ 100, x  ≥ 0 dan y ≥ 0

11. Seorang ibu membuat dua macam gaun yang terbuat dari kain sutra dan katun. Jenis I memerlukan 2,5 meter sutra dan 1 meter katun, sedangkan jenis II memerlukan 2 meter sutra dan 1,5 meter katun. Kain sutra tersedia 70 meter dan katun 45 meter. Jika dimisalkan banyaknya gaun jenis I adalah x, dan banyaknya gaun jenis II adalah y, maka system pertidaksamaan yang memenuhi masalah tersebut adalah …

a.       5x + 4y ≤ 140, 2x + 3y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0

b.      5x + 4y ≥ 140, 2x + 3y ≥ 90, x ≥ 0, y ≥ 0

c.       4x + 5y ≥ 140, 2x + 3y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0

d.      4x + 5y ≥ 140, 3x + 2y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0

e.       4x + 5y ≤ 140, 3x + 2y ≤ 90, x ≥ 0, y ≥ 0

12. Sistem pertidaksamaan untuk daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah …
 

a.       x  ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≥ 6

b.      x  ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≥ 12, – 3 x + 2y ≥ 6

c.       x  ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≤ 6

d.      x  ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y > 12, – 3 x + 2y ≤ 6

e.       x  ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, – 3 x + 2y ≥ 6

14. Sebuah butik memiliki 4 m kain satin dan 5 m kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta 1 memerlukan 2 m kain satin dan 1 m kain prada. Baju pesta 2 memerlukan 1 m kain satin dan 2 m kain prada. Jika harga jual baju pesta 1 sebesar Rp. 500.000 dan baju pesta 2 sebesar Rp. 400.000, hasil penjualan maksimum butik adalah....
A. Rp. 500.000,00
B. Rp. 700.000,00
C. Rp. 1.000.000,00
D. Rp. 1.300.000,00
E. Rp. 1.500.000,00

15. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari pertidaksamaan
4x + 2y ≤ 60
2x + 4y ≤ 48
x ≥  0 dan y ≥ 0
Adalah...
A. 80
B. 100
C. 120
D. 150
E. 200

16. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang didapat dari penjualan rumah tersebut adalah...
A. Rp. 550.000.000,00
B. Rp. 600.000.000,00
C. Rp. 700.000.000,00
D. Rp. 800.000.000,00
E. Rp. 900.000.000,00

17. Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian jadi. Model 1 memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model 2 memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model 1 mendapat untung Rp. 15.000,00 dan model 2 mendapat untung Rp. 10.000,00. Laba maksimum yang diperoleh adalah...

A. Rp. 100.000,00

B. Rp. 140.000,00

C. Rp. 160.000,00

D. Rp. 200.000,00

E. Rp. 300.000,00

18. Untuk membuat satu bungkus roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat satu roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, maka jumlah kedua jenis roti yang dapat dibuat paling banyak …

a.  40 bungkus

b.  45 bungkus

c.   50 bungkus

d.  55 bungkus

e.  60 bungkus

19. Yang manakah dibawah ini yang dianggap sebagai pertidaksamaan linear satu variabel:

a.  2x - y  = 10

b. 5x - 3y + 2 = 2x + 2y + 12

c. 2x - 2 = 10

d. 𝑝2 − 2𝑝 + 1 ≤ 0

20. Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.


Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah....
A. 102
B. 115
C. 125
D. 150
E. 200

ESSAY

1.      Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.

2.      Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.

3.      Arsirlah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 8,    2x + 3y ≤ 12,     x ≥ 0,   y ≥ 0 pada diagram Cartesius.

4.      Coba tentukanlah daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 12

5.      Gambarkanlah ke dalam koordinat cartesius garis x + 2y = 8 dan 2x + y =6

6.      Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6.

7.      Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.

8.      Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.

9.      Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.

10.  Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp 9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud.