MATERI SOAL TURUNAN

 

A. MENENTUKAN KONSEP TURUNAN FUNGSI

Konsep Turunan

Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

1. Garis Singgung

Amati Gambar 1.

Gambar 1. Grafik persamaan garis singgung.

Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat (a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan)  . Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda.

Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien :

 ...(1)

Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x?

Gambar 2. Garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x.

Contoh Soal 1 :

Tentukan gradien garis singgung pada kurva

a. f(x) = x² di titik dengan absis 2

b. f(x) = x³ di titik dengan absis 3

Penyelesaian :

a. 

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.

b.

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x³ di titik dengan absis x = 3 adalah m = 27.

Turunan Fungsi di x = a

Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka :

Jika  ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x) di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,

Cara Menentukan Turunan Fungsi

Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung yang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih  dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan

Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.

Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.

1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axⁿ

Misalkan, fungsi f(x) = axⁿ dengan n = 1, 2, dan 3. Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebut adalah :

Untuk n = 2, diperoleh f (x) = ax² dan turunan fungsi tersebut adalah :

Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi :

f(x) = ax³ , f(x) = ax⁴ dan f(x) = ax⁵.

Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi berikut.

f(x) = ax⁶, f ‘(x) = 6ax⁵

.

.

.

f(x) = ax¹⁵, f ‘(x) = 15ax¹⁴

.

.

.

f(x) = axⁿ, f ‘(x) = nax^{n – 1}

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ , dengan n bilangan asli maka f '(x) = nax^{n – 1}. Untuk n = 0, f(x) = axⁿ menjadi f(x) = ax⁰ = a. 

Fungsi f(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi konstan adalah :

sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ dengan n bilangan bulat maka f '(x) = anx^{n – 1} untuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.

Menentukan Turunan Fungsi si f(x) = axⁿ dengan n Bilangan Rasional

Misalkan, f(x) = , turunan fungsi f(x) adalah :

Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan fungsi f(x) =  dan f(x) =  5.

Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi f(x) = axⁿ ? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi f(x) = axⁿ yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ , dengan n bilangan rasional maka turunannya adalah f '(x) = nax^{n – 1}.

B. TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.

 

1.Turunan fungsi konstan

f(x) = k ⇒ f’(x) =  0

Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:

a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0

b. Turunan dari f(x) = - 6 adalah f’(x) = 0

2.Turunan fungsi identitas

f(x) = x ⇒ f’(x) =  1

3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n

Contoh :

 

Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini

c . 

[Penyelesaian]

d.  

[penyelesaian]

 

4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi

Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,

a. 

[Penyelesaian]

 

b.  

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua  pada materi matematika smp kelas 7 aljabar  maka,

 

c. 

[Penyelesaian]

 

5.Turunan fungsi aljabar hasil kali

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,

Carilah turunan dari , 

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,

 

Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu:

Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:

Tentukan turunan dari, 

[Penyelesaian]

 

6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi

Dengan  v(x) ≠ 0 

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, 

[Penyelesaian]

 

Turunan fungsi aljabar aturan rantai 

Dengan u (x) fungsi dari x  dan n ϵ bilangan real 

 

Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,

Carilah turunan dari fungsi dibawah ini,

[Penyelesaian]

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu:

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi berikut ini , 

[Penyelesaian]

 

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, 

[Penyelesaian]

C. SOAL PILIHAN DAN DAN ESSAY

PILIHAN GANDA

1. Jika f(x) = (2x – 1)² (x + 2), maka f‘(x) = …

A. 4(2x – 1)(x + 3)

B. 2(2x – 1)(5x + 6)

C. (2x – 1)(6x + 5)

D. (2x – 1)(6x + 11)

E. (2x – 1)(6x + 7)

JAWABAN : E

2. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = adalah f ‘(x), maka f‘(x) = …

A.

B.

C.

D.

E.

JAWABAN : A

3. Diketahui f(x) = , Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f‘(2) = …

A. 0,1

B. 1,6

C. 2,5

D. 5,0

E. 7,0

JAWABAN : B

4. Diketahui f(x) = . Nilai f‘(4) = …

A. 1/3

B. 3/7

C. 3/5

D. 1

E. 4

JAWABAN :

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = –2x² + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah …

A. 2x + y + 15 = 0

B. 2x + y – 15 = 0

C. 2x – y – 15 = 0

D. 4x – 2y + 29 = 0

E. 4x + 2y + 29 = 0

JAWABAN : B

6. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

E. 16

JAWABAN : D

7. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik (1, 0) adalah …

A. y = x – 1

B. y = –x + 1

C. y = 2x – 2

D. y = –2x + 1

E. y = 3x – 3

JAWABAN :

8. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx + c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …

A. – 21

B. – 9

C. 9

D. 21

E. 24

JAWABAN : A

9. Fungsi f ditentukan oleh dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….
a.
b.
c.
d.
e.

10. Turunan pertama fungsi adalah f ‘(x) = ….
a.
b.
c.
d.
e.

11. Turunan pertama dari fungsi fx adalah f ' (x). Jika fx = 3x³ – 4x + 6, maka nilai dari f ' (2) = ...

A. 22

B. 32

C. 38

D. 42

E. 48

Jawaban: B

12. Fungsi fx ditentukan oleh fx = x³ + 3x² - 5x + 1 dan f '(x) adalah turunan dari fx. Nilai dari f '(1) adalah...

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 14

Jawaban: B

13. Jika f(x) = 2x² + 6x + 1 maka f1(x) = ...
A. 4
B. 4x
C. 4x + 6
D. 4x³ + 6x²
E. 4x³ + 6x² + 1

Jawaban: C

14. Jika f(x) = x – 1/x maka f'(x) = ...
A. 1 – 1/x²
B. 1 + 1/x²
C. 0
D. 1 – x²
E. 1 + x²

Jawaban: B

15. Jika f(x) = (x + 1) (x - 3) maka f '(x) = ....

A. x - 3

B. x + 1

C. 2x - 2

D. 3x + 1

E. 3x

Jawaban: C

16. Jika fx = (3x² - 5x) / (x - 3) maka f '(x) = ...

A. 3x² - 5x

B. x - 3

C. (x² - 6x) / (x - 3)² 

D. (3x² - 26x) / (x - 3)² 

E.  (3x² + 26x) / (x - 3)² 

Jawaban: D

17. Jika y = (x² + 1) (x³ – 1) maka y1 = ...
A. 2x (x³ – 1) + 3x² (x² + 1)
B. 2x (x³ – 1) - 3x² (x² + 1)
C. 3x (x³ – 1) + 2x (x² + 1)
D. 3x² (x³ – 1) - 2x (x² + 1)
E. 6x³
Jawaban: A

18. Jika f(x) = (x² + 1)(x² – 1) maka f1(x) = ...
A. 4x³
B. 4x²
C. 4x
D. 4
E. 0
Jawaban: A
19. Suatu pabrik sepatu memproduksi x sepatu setiap harinya dengan biaya produksi 3x - 180 + (3000/x) ribu rupiah per pasang. Biaya total minimum perhari adalah...

A. Rp. 450.000

B. Rp. 300.000

C. Rp. 152.000

D. Rp.62.000

E. Rp. 10.000
Jawaban: E

20. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi s (t) = 3t² - 24t + 5. Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada t = ...
A. 6 detik
B. 4 detik
C. 3 detik
D. 2 detik
E. 1 detik
Jawaban: B

ESSAY

1.      Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

y =	1 + cos x
	sin x

2.      Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(^π⁄₆).

3.      Jika y = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.

4.      Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.

5.      Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 5(2x² + 4x)
b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)

6.   Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

a)
b)
c)

7.    Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut, nyatakan hasil akhir dalam bentuk akar

a)
b)
c)

8.    Tentukan turunan dari y = (x² − 3x)⁷ ?

9.    Tentukan turunan dari f(x)=1x2−3x ?

10. Jika f(x)=(4x−3)3−−−−−−−√4, tentukan nilai dari f '(1) ?