Mondokan City: APLIKASI KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

BAB 6

APLIKASI KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS

Disusun oleh :

1. Anggi Astuti Muda Makin (02)

2. Arlindo Wahyu Putri W.W. (03)

3. Fatma Widiasari (09)

SMA NEGERI 1 SUKODONO

TAHUN PELAJARAN 2017/2018

A. OPERASI ALJABAR PADA FUNGSI

Definisi Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang dari matematika yang mempelajari tentang pemecahan masalah menggunakan simbol–simbol sebagai pengganti konstanta dan variabel (wikipedia). Aljabar sendiri ditemukan oleh seorang cendekiawan Islam yaitu beliau Al Khawarizmi. Aljabar berasal dari kata “al – jabr” yang artinya penyelesaian.

Berikut ini Beberapa istilah pada Aljabar :

Variabel : simbol pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas

Konstanta : bilangan yang tidak memuat variabel

Koefisien : faktor konstanta dari suatu variabel

Operasi Aljabar Pada Fungsi

Misalkan, f(x) dan g(x) diberikan oleh

f(x) = x dan g(x) = 2x

penjumlahan f(x) = x dan g(x) yaitu f(x) + g(x) = x + 2x = 3x

operasi aljabar ini mendefenisikan suatu fungsi baru yang disebut

jumlah dari f dan g,

dilambangkan dengan f + g. Nilai fungsi baru yang diperoleh ialah f(x) + g(x).

oleh karena itu, ( f + g )(x) = f(x) + g(x) = x + 2x = 3x

Secara umum. Defenisi jumlah f + g, selisih f – g, perkalian fg, dan pembagian f/g ialah sebagai berikut.

Defenisi ini berlaku jika f dan g terdefenisi.

Contoh Soalnya

1. Jika f(x) = x – 3 dan g(x) = 2×3 + 5x, tentukan hasil operasi fungsi berikut.
a. ( f + g )(x)
b. ( f – g )(x)
c. (fg)(x)
d. f /g

Penyelesaiannya :
a. ( f + g )(x) = f(x) + g(x)
= (x – 3) + (2×3 + 5x)
= 2×3 + 6x – 3
b. ( f – g )(x) = f(x) – g(x)
= (x – 3) – (2×3 + 5x)
= -2×3 – 4x – 3
c. (fg)(x) = f(x) g (x)
=(x-3)(2×3 + 5x)
=2×4 + 5×2 – 6×3 – 15x
=2×4 -6×3 +5×2 – 15x
d. ( f/g )(x) = f(x) / g(x)
= (x – 3) / (2×3 + 5x)

2. Pada subbab ini, kita akan mempelajari operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada fungsi). Perhatikan masalah berikut.Masalah-3.1

Seorang photografer dapat menghasilkan gambar yang bagus melalui dua tahap, yaitu; tahap pemotretan dan tahap editing. Biaya yang diperlukan pada tahap pemotretan (B1) adalah Rp500,- per gambar, mengikuti fungsi: B1(g) = 500g + 2500 dan biaya pada tahap editing (B2) adalah Rp100,- per gambar, mengikuti fungsi: B2(g) = 100g + 500, dengan g adalah banyak gambar yang dihasilkan.

a) Berapakah total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang bagus?

b) Tentukanlah selisih antara biaya pada tahap pemotretan dengan biaya pada tahap editing untuk 5 gambar.

Alternatif Penyelesaian

Fungsi biaya pemotretan: B1(g) = 500g + 2.500

Fungsi biaya editing: B2(g) = 100g + 500

a) Untuk menghasilkan gambar yang bagus, harus dilalui 2 tahap proses yaitu pemotretan dan editing, sehingga fungsi biaya yang dihasilkan adalah:

B1(g) + B2(g) = (500g + 2.500) + (100g + 500) = 600g + 3.000

Total biaya untuk menghasilkan 10 gambar (g = 10) adalah:

B1(g) + B2(g) = 600g + 3.000

B1(10) + B2(10) = (600 × 10) + 3.000 = 9.000

Jadi total biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 10 gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp9.000,-

b) Selisih biaya tahap pemotretan dengan tahap editing adalah:

B1(g) – B2(g) = (500g + 2.500) – (100g + 500) = 400g + 2.000

Selisih biaya pemotretan dengan biaya editing untuk 5 gambar (g = 5) adalah:

B1(g) – B2(g) = 400g + 2.000

B1(5) – B2(5) = (400 × 5) + 2.000 = 4.000

Jadi selisih biaya yang diperlukan untuk menghasilkan 5 gambar dengan kualitas yang bagus adalah Rp4000,-

Perhatikan jumlah biaya pada bagian (a) dan selisih biaya pada bagian (b).

B1(g) = 500g + 2500 sehingga B1(5) = 5.000 dan B1(10) = 7.500.

B2(g) = 100g + 500 sehingga B2(5) = 1.000 dan B2(10) = 1.500

BJ (g) = B1(g) + B2(g) = 600g + 3000 sehingga BJ (10) = 9.000 dan B1(10) + B2(10)

= 7.500 + 1.500 = 9.000

Demikian juga,

BS (g) = B1(g) – B2(g) = 400g + 2000 sehingga BS (5) = 4.000 dan B1(5) – B2(5)

= 5.000 – 1.000 = 4.000.

Definisi 3.1

Jika f suatu fungsi dengan daerah asal Df dan g suatu fungsi dengan daerah

asal Dg , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian dinyatakan sebagai berikut.

a) Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai ( f + g )(x) = f (x) + g (x) dengan daerah asal D D D f + f = _ g g.

b) Selisih f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai ( f −g)(x)= f (x)−g(x)dengan daerah asal D D D f − f = _ g g.

c) Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai ( f ×g)(x)= f (x)×g (x)dengan daerah asal D D D f× f = _ g g.

d) Pembagian f dan g ditulis dengan daerah asal D

B. KOMPOSISI FUNGSI

1. Pengertian

Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.

Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C

f g

A B C

h = g o f

Fungsi baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan g.

Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

(gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika R_f ∩ D_g ≠ Ø

Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Contoh 1:

Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut

f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)

Jawab:

a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,2), (4,3)}

c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3

Contoh 2:

f : R ® R ; f(x) = 2x² +1, g : R ® R ; g(x) = x + 3

Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1)

Jawab :

(f o g)(x) = f(g(x))

= f(x+3)

= 2(x+3)²+1

= 2(x² + 6x + 9) + 1

= 2x²+12x+19

(g o f)(x) = g(f(x))

= g(2x²+1)

= 2x² + 1 + 3

= 2x² + 4

(f o g)(1) = f(g(1))

= f(4)

= 2. (4)² +1

= 2.16 + 1

= 33

(g o f)(1) = g(f(1))

= g(3)

= 3 + 3

= 6

Contoh 3:

Diketahui A = {x l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.

f : A → B dengan f(x) = -x + 1; g : B → C dengan g(x) = x² dan

h = g o f : A → C.

Bila x di A dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!

h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)²

h(x) = 64 → (-x + 1)²= 64 ↔ -x + 1 = ± 8

-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x + 1 = -8 ↔ x = 9

Karena A = {x l x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.

2. Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka berlaku:

i. (fog)(x) ≠ (g o f)(x) (tidak komutatif)

ii. ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x) (sifat asosiatif)

iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)

Contoh :

Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x² + 2, I(x) = x

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x

(g o h)(x) = g(h(x)) = g(x² + 2) = 3 – (x² + 2) = 1 - x²

Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o f)(x)

((fog)oh)(x) = (fog)(h(x))= (fog)( x² + 2)= 7 – 2(x² + 2) = 3 - 2x²

(fo(goh))(x)=f((goh)(x))= f(1 - x²)= 2(1 - x²) + 1 = 2 – 2 x² + 1 = 3 – 2 x²

Dari hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

(foI)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x + 1

(Iof)(x) = I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1

Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

C. FUNGSI INVERS

1. Definisi

Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan bÎB}, maka invers dari fungsi f adalah f^-1: B ® A ditentukan oleh: f^-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.

Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f^-1 : B ® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi 1-1.

Jika f : y = f(x) ® f ^-1: x = f(y)

(f o f ^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)

2. Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers

i. f(x) = ax + b; a ≠ 0 ® f ^-1(x) =

; a ≠ 0

ii. f(x) =

; x ≠ -

® f ^-1(x) =

; x ≠

iii. f(x) = a^cx ; a > 0 ® f ^-1(x) =^alog x^1/c =

^alog x ; c ≠ 0

iv. f(x) = ^a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f ^-1(x) =

; c ≠ 0

v. f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ® f ^-1(x)=

Catatan:

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.

Contoh:

Diketahui f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f ^-1 (x)!
Cara 1:

y = 2x - 5 (yang berarti x = f ^-1(y))
2x = y + 5

x =

f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) = ax + b ® f ^-1(x) =

f(x) = 2x – 5 ® f ^-1(x) =

Contoh:

Diketahui

Tentukan

Cara 1:

y(x - 4) = 2x + 1

yx – 4y = 2x + 1

yx – 2x = 4y + 1

x(y – 2) = 4y + 1

x =

f ^-1(x) =

Cara 2:

f(x) =

® f ^-1(x) =

Contoh:

Jika

dan

. Tentukan nilai k!

Cara 1:

y(3x - 4) = 2x

3xy – 4y = 2x

3xy – 2x = 4y

x(3y – 2) = 4y

x =

f ^-1(x) =

f ^-1(k) =

1 =

3k – 2 = 4k

k = -2

Cara 2:

f ^-1(k) = a ® k = f(a)

® k = f(1) =

Contoh:

Diketahui f(x) = 5^2x, tentukan f ^{– 1}(x)!

Cara 1:

y = 5^2x (ingat rumus logaritma: aⁿ = b ® n =

)

2x =

x =

f ^{– 1}(x) =

Cara 2:

f(x) = a^cx ® f ^-1(x) =

^alog x

f(x) = 5^2x® f ^–
1(x) =

Contoh:

Diketahui f(x) = x² – 6x + 4, tentukan f^–1(x)!

Cara 1:

y = x² – 6x + 4

y – 4 = x² – 6x

y – 4 = (x – 3)² – 9

y + 5 = (x – 3)²

x – 3 = ±

x = 3 ±

f ^{– 1}(x) = 3 ±

Cara 2:

f(x) = ax²+bx+c ® f ^-1(x) =

f(x) = x² – 6x + 4 ® f ^-1(x) =

3. Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui

Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).

Contoh:

Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x² + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) = 2x² + 2x – 12

g(f(x)) = 2x² + 2x – 12

3 – 2f(x) = 2x² + 2x – 12

-2f(x) = 2x² + 2x – 15

f(x) = -x² – x + 7,5

Cara 2:

g(x) = 3 – 2x ® g ^-1(x) =

f(x) = [g ^-1 o (g o f)](x)

f(x) =

Contoh:

Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =

, tentukan rumus fungsi g(x)!

Cara 1:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

Misalkan: 2x – 1 = a ® x =

g(a) =

g(x) =

Cara 2:

(g o f)(x) =

g(f(x)) =

g(2x-1) =

g(x) =

Cara 3:

f(x) = 2x -1 ® f ^-1(x) =

g(x) = [(g o f) o f ^-1](x) = (g o f)( f ^-1(x))

g(x) =

4. Invers Dari Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi f dan fungsi g nasing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f ^-1 dan g^-1. Fungsi komposisi (g o f) , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mula-mula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut.

f g

A B C

g o f

Fungsi (g o f)^-1 memetakan z ke x. Mula-mula z dipetakan ke y oleh fungsi g^-1, kemudian y dipetakan x oleh fungsi f ^-1. Sehingga (g o f)^-1dapat dinyatakan sebagai komposisi dari (f^-1 0 g^-1). Seperti tampak pada diagram berikut.